Question

点P是曲线x²-y-1nx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离

2

．

Answer 1

分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，
令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．

解答：解：点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
由于直线y=x-2的斜率等于1，令y=x²-lnx的导数 y′=2x-

1

x

=1，x=1，或 x=-

1

2

（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于

2

，故点P到直线y=x-2的最小距离为

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．