Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=1，前n项和为S_n，又在等比数列{b_n}中，b₁=2，b₂S₂=16，且当n≥2时，有成立，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设，证明：．

Answer 1

解：（1）∵等差数列{a_n}的各项均为正整数，
∴设等差数列{a_n}的公差为d，d∈N，等比数列{b_n}的公比为q，
则∵a₁=1，b₁=2，b₂S₂=16，当n≥2时，有成立，
∴2q•（2+d）=16…①
q^d=4…②
解得q=d=2
故a_n=2n-1，b_n=2ⁿ，
（2）∵=
∴c₁+c₂+…+c_n≤==
又由n∈N^*，则，
所以=
∴．
分析：（1）由已知，构造出方程2q•（2+d）=16和q^d=4，解得公差和公比，代入等差数列和等比数列通项公式，可得答案．
（2）由（1）中结论，求出数列{c_n}的通项公式，用放缩法即可得证．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．考查分析解决问题的能力和运算能力，是难题．