Question

11．如图，已知三棱锥A-BCD中，DB=DC=BA=2，BD⊥DC，AB⊥平面BCD，E为BC的中点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）在棱AC上是否存在点F，使得EF⊥AD？

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥DE，BC⊥DE，从而DE⊥平面ABC，由此能证明AC⊥DE．
（2）以D为坐标原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大小．
（3）假设存在点F（a，b，c）在棱AC上，则$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]，求出$\overrightarrow{EF}=（1-2λ，-1+2λ，2-2λ）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，由EF⊥AD，能求出存在点F的坐标．

解答 证明：（1）∵AB⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AB⊥DE，
又∵△BCD为等腰直角三角形，E为BC的中点，∴BC⊥DE，
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE．
解：（2）在平面ABD内，过点D作BA的平行线DP，
∴DP⊥平面BCD，∴DB，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线这z轴，建立如图空间直角坐标系，
则D（0，0，0）A（2，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），
∵DE⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{DE}=（1，1，0）$为平面ABC的一个法向量，
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面ACD的一个法向量，
$\overrightarrow{DC}=（0，2，0），\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{2y=0}\end{array}}\right.$，取x=1，则z=-1，y=0，故$\overrightarrow n=（1，0，-1）$
∴$cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{DE}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$，
∴二面角B-AC-D的大小为$\frac{π}{3}$．
（3）假设存在点F（a，b，c）在棱AC上，则$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AC}$，λ∈[0，1]
即（a-2，b，c-2）=（-2λ，2λ，-2λ）
∴F（2-2λ，2λ，2-2λ），
则$\overrightarrow{EF}=（1-2λ，-1+2λ，2-2λ）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，2）$，
有$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DA}=2-4λ+4-4λ=0$，即$λ=\frac{3}{4}$，
即存在点$F（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$为AC的靠近点C的四等分点使得EF⊥AD．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．