【题目】借助计算机(器)作某些分段函数图象时,分段函数的表示有时可以利用函数,例如要表示分段函数g(x)=总可以将g(x)表示为g(x)=xh(x-2)+(-x)h(2-x).
(1)设f(x)=(x2-2x+3)h(x-1)+(1-x2)h(1-x),请把函数f(x)写成分段函数的形式;
(2)已知G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)是R上的减函数,求a的取值范围;
(3)设F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),求函数F(x)的最小值.
【答案】(1)f(x)=; (2)≤a<; (3)当a≤-时,最小值为-a+;当a≥时,最小值为为a+;当-<a<时,最小值为F(a)=a2+1.
【解析】
(1)分当x>1、当x=1和当x<1时3种情况加以讨论,分别根据函数的对应法则代入,可得f(x)相应范围内的表达式,最后综合可得函数f(x)写成分段函数的形式;
(2)运用分段函数形式表示G(x),再由一次函数、对数函数的单调性,可得a的范围;
(3)由题意,讨论x>a,x=a,x<a,求得F(x)的解析式,再结合二次函数的图象与性质,分a、a和a的4种情况进行讨论,最后综合可得F(x)的最小值.
(1)当x>1时,x-1>0,1-x<0,可得f(x)=(x2-2x+3)+0(1-x2)=x2-2x+3;
当x=1时,f(x)=2;
当x<1时,x-1<0,1-x>0,可得f(x)=1-x2.
即有f(x)=;
(2)G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)
=,
由y=G(x)是R上的减函数,
可得,
解得≤a<;
(3)F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),
当x>a时,x-a>0,可得F(x)=x2+x-a+1;
若a≥-,可得F(x)在x>a递增,可得F(x)>F(a)=a2+1;
若a<-,可得F(x)的最小值为F(-)=-a;
当x=a时,可得F(x)=2(a2+1);
当x<a时,x-a<0,a-x>0,则F(x)=x2-x+a+1.
若a≥,可得F(x)在x<a的最小值为F()=a+;
若a<,可得F(x)在x<a递减,即有F(x)>F(a)=a2+1.
①当a≥时,F(x)在区间(-∞,-)上单调递减,
在区间(-,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递增,
可得F(-)为最小值,且为-+a+1=a+;
②当-<a<时,F(x)在区间(-∞,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.
F(x)的最小值为F(a)=a2+1;
③当a≤-时,在区间(-∞,a)上单调递减,在区间(a,-)上单调递减,
在区间(-,+∞)上单调递增.
所以F(x)的最小值为F(-)=-a+;
综上所述,得当a≤-时,F(x)的最小值为-a+;
当a≥时,F(x)的最小值为为a+;
当-<a<时,F(x)的最小值为F(a)=a2+1.
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【题目】在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域 中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )
A.2
B.4
C.3
D.6
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【题目】已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn .
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
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【题目】设命题p:实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q:实数x满足(x-3)(x-2)≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xm , ym),则 xi=( )
A.
B.m
C.2m
D.4m
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【题目】[选项4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.
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【题目】(本题满分10分)已知半径为的圆的圆心M在轴上,圆心M的横坐标是整数,且圆M与直线相切.
求:(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)设直线与圆M相交于两点,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函数.
(Ⅰ)求常数k的值;
(Ⅱ)若a>1,试判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(Ⅲ)若a=2,且函数g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[0,1]上的最小值为1,求实数m的值.
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