Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函数y=f（x）的图象经过点（0，0），（-1，0），求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a=b=1，函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点，求c的值．

Answer 1

解：（1）把点P（-1，0）代入y=f（x）得-a+b+c=0，又c=0，故a=b
由f’（x）=3ax²+2ax=ax（3x+2）=0得，x₁=0，x₂=-，
故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-），（0，+∞）
单调递减区间是（-，0）
当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（-∞，-），（0，+∞）
单调递增区间是（-，0）（6分）
（2）当a=b=1时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-），（0，+∞），
单调递减区间是（-，0）
故当x=-时，f（x）取极大值为f（-）=-++c，
当x=0时，f（x）的极小值为f（0）=c
要使函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点，则必须满足-++c=2或c=2
故c=或2．（6分）
分析：（1）先由“函数y=f（x）的图象经过点（0，0），（-1，0）”，求得函数f（x），再求导，由f′（x）≥0求得单调增区间，由f′（x）≤0求得单调减区间，要注意讨论．
（2）当a=b=1时，分别求得函数的极大值和极小值，再由“函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点”求解．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，还考查了导数法研究曲线的相对位置，基本思路是：求导，明确极值点，再动静结合求解参数的范围．