Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2）．
（1）当k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°时，求k的值；
（2）问：是否存在实数k使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直？请给出理由．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求出k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，代入数量积求夹角公式求得k值；
（2）由向量垂直的坐标表示列式，求得使k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直的k不存在．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2），得
k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（k，k+2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
∴cos120°=$-\frac{1}{2}$=$\frac{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{{k}^{2}+（k+2）^{2}}•\sqrt{2}}$，
解得：k=-1$±\sqrt{3}$；
（2）若k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，则k-（k+2）=0，此方程无解，
故不存在实数k，使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．