Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 法一：（1）由AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，能证明AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，由已知推导出DE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
法二：（1）以C为坐标原点，直线CA、CB、C₁C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2），利用向量法能证明AC₁∥平面CDB₁．

解答 （本小题满分13分）
证法一：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长
AC=3，BC=4，且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
证法二：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC、BC、C₁C两两垂直，
如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C₁C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），
B（0，4，0），B₁（0，4，4），D（$\frac{3}{2}$，2，0）
∵$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，0），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴AC⊥BC₁．
（2）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2）．
∵$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}_{1}}$，∴DE∥AC₁．∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．