Question

6．在△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，c=$\sqrt{5}$，则△ABC的面积的最大值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 运用解直角三角形，可得a=csinA=$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosB，由三角形的面积公式和正弦函数的值域，计算即可得到最大值．

解答 解：由∠C=$\frac{π}{2}$，c=$\sqrt{5}$，
可得A+B=$\frac{π}{2}$，
则a=csinA=$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosB，
即有△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$cosBsinB
=$\frac{5}{4}$sin2B≤$\frac{5}{4}$，
当且仅当B=$\frac{π}{4}$，取得最大值$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查解直角三角形的知识，二倍角公式的运用，及三角形的面积公式的运用，正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．