Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）．若{a_n}为等比数列，且a₁=2，b₃=6+b₂
（1）求a_n与b_n；
（2）设C_n=

1

bn

，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1；
（3）设d_n=log₂a_2n-1，求m，k（m，k∈N^*）的值，使得d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k=65．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{a_n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a_n，然后现利用条件求出通项b_n；
（2）直接利用裂项相消法求数列{c_n}的前n项和，然后放缩得答案；
（3）把a_2n-1代入d_n=log₂a_2n-1，由等差数列的前n项和公式求得d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k，并由其等于65，通过分析65的因数得到

k+1=5 2m+k-1=13

，从而求得m，k的值．

解答： （1）解：∵a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn ①，
当n≥2，n∈N^*时，a1a2a3…an-1=(

2

)bn-1 ②，
由①②知：an=(

2

)bn-bn-1，
令n=3，则有a3=(

2

)b3-b2．
∵b₃=6+b₂，
∴a₃=8．
∵{a_n}为等比数列，且a₁=2，
设{a_n}的公比为q，则q2=

a3

a1

=4，
由题意知a_n＞0，∴q=2．
∴an=2n（n∈N^*）．
又由a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn，得：
21•22•23…2n=(

2

)bn，
即2

n(n+1)

2

=(

2

)bn，
∴b_n=n（n+1）（n∈N^*）；
（2）证明：C_n=

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1；
（3）解：d_n=log₂a_2n-1=log222n-1=2n-1，
则d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k=（2m-1）+（2m+1）+…+（2m+2k-1）=

(2m-1+2m+2k-1)(k+1)

2

，
由

(2m-1+2m+2k-1)(k+1)

2

=65，得（2m+k-1）（k+1）=65．
∵m，k∈N^*，∴（2m+k-1），（k+1）∈N^*，
则

k+1=5 2m+k-1=13

，解得：m=5，k=4．

点评：本题考查了等比数列通项公式、求和公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了对数的运算性质，对于（3）的求解，正确掌握65的因数是关键，是中档题．