Question

8．已知对任意实数k＞1，关于x的不等式$k（{x-a}）＞\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（　　）

• A． 0
• B． -1
• C． -2
• D． -3

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．

解答 解：令$f（x）=\frac{2x}{e^x}（{x＞0}）$，依题意，对任意k＞1，
当x＞0时，y=f（x）图象在直线y=k（x-a）下方，
$f'（x）=\frac{{2（{1-x}）}}{e^x}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	$\frac{2}{e}$	递减

y=f（x）的大致图象：

则当a=0时，∵f'（0）=2，∴当1＜k＜2时不成立；
当a=-1时，设y=k₀（x+1）与y=f（x）相切于点（x₀，f（x₀））．
则${k_0}=\frac{{2（{1-{x_0}}）}}{{{e^{x_0}}}}=\frac{{f（{x_0}）}}{{{x_0}+1}}?1-{x_0}^2={x_0}$，解得${x_0}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}∈（{0，1}）$．
∴${k_0}=\frac{{3-\sqrt{5}}}{{{e^{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}}}}＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}＜1$，故成立，∴当a∈Z时，a_max=-1．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．