Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体．
（1）求AD₁与B₁B所成的角的大小．
（2）与AD₁异面，且与AD₁所成角是45°的正方体的棱有哪几条？
（3）求AD₁与B₁C所成的角的大小．
（4）如果MN分别是B₁C₁，C₁C的中点，求MN与AD₁所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AA₁∥B₁B，得∠A₁AD₁是AD₁与B₁B所成的角，由此能求出AD₁与B₁B所成的角的大小．
（2）与AD₁异面，且与AD₁所成角是45°的正方体的棱有4条．
（3）由B₁C∥A₁D，AD₁⊥A₁D，能求出AD₁与B₁C所成的角的大小．
（4）MN∥B₁C，又B₁C∥A₁D，AD₁⊥A₁D，由此能求出MN与AD₁所成角的大小．

解答： 解：（1）∵AA₁∥B₁B，
∴∠A₁AD₁是AD₁与B₁B所成的角，
∵∠A₁AD₁=45°，
∴AD₁与B₁B所成的角为45°．
（2）与AD₁异面，且与AD₁所成角是45°的正方体的棱有：
BB₁，CC₁，BC，B₁C₁，共4条．
（3）∵B₁C∥A₁D，
AD₁⊥A₁D，
∴AD₁与B₁C所成的角的大小为90°．
（4）∵M，N分别是B₁C₁，C₁C的中点，
∴MN∥B₁C，又B₁C∥A₁D，AD₁⊥A₁D，
∴MN与AD₁所成角的大小为90°．

点评：本题考查空间角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．