【题目】为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流,已知穿城公路
自西向东到达城市中心
后转向
方向,已知
,现准备修建一条城市高架道路
,
在
上设一出入口
,在
上设一出口
,假设高架道路
在
部分为直线段,且要求市中心
与
的距离为
.
(1)若,求两站点
之间的距离;
(2)公路段上距离市中心
处有一古建筑群
,为保护古建筑群,设立一个以
为圆心,
为半径的圆形保护区.因考虑未来道路
的扩建,则如何在古建筑群和市中心
之间设计出入口
,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区?
【答案】(1);(2)设计出入口
离市中心
的距离在
到
之间时,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.
【解析】
(1)过作直线
于
,则
,设
,
则,(
),可得
,
,可求
,又
,结合
,可得
,即可求解两出入口之间距离的最小值.
(2)设切点为,以
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系
,设直线
的方程为
,可求
,或
(舍去),可求
,此时
,又由(1)可知当
时,
,综上即可求解.
(1)过作直线
于
,则
,设
,
则,(
),
故,
,
,
又,
由,得
,
故,当且仅当
,
时取等号.
此时,有最小值为
.
即两出入口之间距离的最小值为.
(2)由题意可知直线是以
为圆心,10为半径的圆
的切线,
根据题意,直线与圆
要相离,其临界位置为直线
与圆
相切,设切点为
此时直线为圆
与圆
的公切线.
因为,出入口在古建筑群和市中心
之间,
如图,以为坐标原点,以
所在的直线为
轴,
建立平面直角坐标系
由,
,
因为圆的方程为
,圆
的方程为
,
设直线的方程为
,
则所以,两式相除,得
,
所以或
,
所以此时或
(舍去),此时
,
又由(1)知当时,
,
综上,.
即设计出入口离市中心
的距离在
到
之间时,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是( )
A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B.1个人吸烟,那么这个人有99%的概率患有肺癌
C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给定函数和
,若存在常数
,
,使得函数
和
对其公共定义域
的任何实数
分别满足
和
,则称直线
:
为函数
和
的“隔离直线”,给出下列四组函数:
(1),
; (2)
,
;
(3),
; (4)
,
;
其中函数和
存在“隔离直线”的序号是( )
A.(1)(3)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(4)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了调查某大学学生的某天上网的时间,随机对名男生和
名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
(1)用分层抽样在选取
人,再随机抽取
人,求抽取的
人都是女生的概率;
(2)完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
上网时间少于 | 上网时间不少于 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】三角形的三个顶点的坐标分别为,
,
,则该三角形的重心(三边中线交点)的坐标为
.类比这个结论,连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线,四面体的四条中线交于一点,该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为
,
,
,
,则该四面体的重心的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆M:与
轴相切.
(1)求的值;
(2)求圆M在轴上截得的弦长;
(3)若点是直线
上的动点,过点
作直线
与圆M相切,
为切点,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)先将圆的一般方程化成标准方程,利用直线和圆相切进行求解;(2) 令,得到关于
的一元二次方程进行求解;(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.
试题解析:(1) ∵圆M:
与
轴相切
∴ ∴
(2) 令,则
∴
∴
(3)
∵的最小值等于点
到直线
的距离,
∴ ∴
∴四边形面积的最小值为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】在平面直角坐标系中,圆
的方程为
,且圆
与
轴交于
,
两点,设直线
的方程为
.
(1)当直线与圆
相切时,求直线
的方程;
(2)已知直线与圆
相交于
,
两点.
(ⅰ)若,求实数
的取值范围;
(ⅱ)直线与直线
相交于点
,直线
,直线
,直线
的斜率分别为
,
,
,
是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为
,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为MN,当l⊥x轴时,|MN|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在一点P,使得当l变化时,总有PM与PN所在的直线关于x轴对称?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在矩形中,
,
,点
是线段
上靠近点
的一个三等分点,点
是线段
上的一个动点,且
.如图,将
沿
折起至
,使得平面
平面
.
(1)当时,求证:
;
(2)是否存在,使得
与平面
所成的角的正弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com