分析 (1)求得S2,S4,S6,S8,计算即可得到所求值;
(2)猜想${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$ (n∈N*),用数学归纳法证明.注意由假设,证明n=k+1时,运用
${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,结合累加法和等差数列的求和公式,化简整理,即可得证.
解答 解:(1)T1=S2=5.
T2=S2+S4=5+34=39,
T3=S2+S4+S6=5+34+111=150,
T4=S2+S4+S6+S8=5+34+111+260=410.
(2)猜想${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$ (n∈N*),
下面用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,${T_1}={1^2}×{(1+1)^2}+\frac{1×(1+1)}{2}=5$,结论成立;
(ⅱ)假设当n=k时结论成立,即${T_k}={k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,
那么当n=k+1时,则${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,
又由题意可设Sn的首项为f(n),则f(n)-f(n-1)=n-1,
可得f(n)=f(1)+(f(2)-f(1))+(f(3)-f(2))+…+(f(n)-f(n-1))
=1+1+2+…+n-1,
可得$f(n)=\frac{n(n-1)}{2}+1$,
故S2k+2为以f(2k+2)为首项,前(2k+2)项和,
即${S_{2k+2}}=\frac{(2k+2)(2k+1)(2k+2)}{2}+\frac{(2k+2)(2k+3)}{2}$,
所以${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$
=$\frac{(2k+2)(2k+1)(2k+2)}{2}+\frac{(2k+2)(2k+3)}{2}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$
=$(k+1)[{2(k+1)(2k+1)+2k+3+{k^2}(k+1)+\frac{k}{2}}]$
=$(k+1)[{2(k+1)(2k+1)+2k+2+{k^2}(k+1)+\frac{k+2}{2}}]$
=$(k+1)[{(k+1)({k^2}+4k+4)+\frac{k+2}{2}}]$=${(k+1)^2}{(k+2)^2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
所以当n=k+1时,命题成立.
综上(ⅰ)(ⅱ),${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$(n∈N*).
点评 本题考查数列的通项的求法,注意运用归纳猜想和数学归纳法证明,注意运用假设,考查化简变形和运算能力和推理能力,属于中档题.
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分组 | A | B | C |
用电量 | (0,80] | (80,250] | (250,+∞) |
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满意 | 不满意 | 合计 | |
男生 | 50 | ||
女生 | 15 | ||
合计 | 100 |
参考数据 | 当Χ2≤2.706时,无充分证据判定变量A,B有关联,可以认为两变量无关联; |
当Χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联; | |
当Χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联; | |
当Χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联. |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 17π | B. | 20π | C. | 22π | D. | $(17+5\sqrt{17})π$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 锐角三角形 | B. | 直角三角形 | ||
C. | 钝角三角形 | D. | 不存在这样的三角形 |
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