Question

（2010•武清区一模）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐角．

Answer 1

分析：（1）取PD中点为M，连ME，MF．利用三角形的中位线定理和菱形的性质、平行四边形的判定定理可得四边形MEBF是平行四边形．
再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）利用菱形的性质和正三角形的性质可得DF⊥AB，再利用线面垂直的性质定理可得PD⊥DF，利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；
（3）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD、AP的方向分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
利用两个平面的法向量的夹角公式即可得到二面角．

解答：（1）证明：取PD中点为M，连ME，MF．
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．
∴ME

∥ .

.

1

2

CD．
∵F是AB中点且由于ABCD是菱形，AB

∥ .

.

CD．
∴ME

∥ .

.

FB，∴四边形MEBF是平行四边形．
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，∴BE∥平面PDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB中点，∴DF⊥AB．
∵PA、AB是平面PAB内的两条相交直线，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD、AP的方向分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
易知P（0，0，1），C（

3

，3，0），D（0，2，0），
F（

3

2

，

1

2

，0）．∴

DC

=(

3

，1，0)，

PD

=(0，2，-1)．
由（2）知DF⊥平面PAB，
∴

DF

=（

3

2

，-

3

2

，0）是平面PAB的一个法向量．
设平面PCD的一个法向量为

n

=（x，y，z）．
则

n • DC = 3 x+y=0 n • PD =2y-z=0

，令y=

3

，解得x=-1，z=2

3

，∴

n

=(-1，

3

，2

3

)．
设平面PAB与平面PCD所成的锐角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

DF

＞|=

| n • DF |

| n | | DF |

=

1

2

．
∴θ=60⁰
∴平面PAB与平面PCD所成的锐角为60⁰．

点评：熟练掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、菱形的性质定理、正三角形的性质、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角的方法等是解题的关键．