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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．
    （I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；
    （II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，求证：数学公式．

    解：（I）∵f′（x）=2ax+b 于是f（x）-f′（x）=ax2+（b-2a）x+c-b
    ∵对于一切实数x，都有f（x）≥f′（x）恒成立，
    故a＞0且△1=（b-2a）2-4a（c-b）=b2-4ac+4a2≤0，
    于是b2-4ac-4a2＜0，
    所以f（x）的图象与x轴无交点．
    （II）证明：∵f（x）-2f′（x）=ax2+（b-4a）x+c-2b=0有两个不同的实数根x1，x2，
    故△2=（b-4a）2-4a（c-2b）=b2-4ac+16a2＞0，从而-16，
    有根与系数的关系知：，
    ∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=，于是0＜|x1-x2|2≤12，
    即|x1-x2|．
    分析：（I）由题意因为二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函数导函数，然后有二次函数求出恒成立时，f（x）的图象与x轴无交点；
    （II）先求出函数的导函数，因为方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，等价于对应的二次函数的判别式大于0，利用根与系数的关系即可．
    点评：此题主要考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，导数的应用等基本知识，同时考查运算能力以及数形结合，函数思想等数学思想方法．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    f(x)x-1
    ．
    （1）求a的值；
    （2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
    （3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知二次函数f（x）的图象与x轴的两交点为（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
    （2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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