Question

（2013•成都模拟）若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”
（1）函数f（x）=2^x+x²是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=2^x+x²关于1可线性分解．理由如下：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2．
由零点存在定理可得：存在零点x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．
（2）由题意，存在x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a），化为ln（x₀+a）=lnx₀+lna+1，即ln

x0+a

ax0

=1，
可得

x0+a

ax0

=e，利用x₀＞0及a＞0，即可解得a的取值范围．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1.g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．分别解出g′（x）＜0与g′（x）＞0的x的取值范围即可得出其单调区间．

解答：解：（1）函数f（x）=2^x+x²关于1可线性分解．理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1，
化为h（x）=2（2^x-1+x-1），h（0）=-1，h（1）=2，
∴存在零点x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．
（2）由题意，存在x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx0-ax0+1+lna-a2+1，
化为ln（x₀+a）=lnx₀+lna+1，即ln

x0+a

ax0

=1，
∴

x0+a

ax0

=e，解得x0=

a

ae-1

＞0，
由a＞0，得a＞

1

e

．
（3）由（2）可知：a=1，可得g（x）=lnx-x+1．
g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的单调递增区间是（0，1）；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（1，+∞）．

点评：正确理解“f（x）关于k可线性分解”的意义，熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法、零点存在定理、对数的运算法则等是解题的关键．