Question

1．已知数列{a_n}与{b_n}满足下列关系：a₁=2a，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}$（n∈N^*），其中a＞0．
（1）求数列{b_n}的通项公式，并证明：$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，与（n+$\frac{4}{3}$）a是否有确定的大小关系？若有，请加以证明；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①通过化简可知b_n+1=${{b}_{n}}^{2}$，通过对等式两边同时取对数可知log₃b_n+1=2log₃b_n，进而可知数列{log₃b_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，计算可知数列{b_n}的通项公式b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$；②通过①可知a_n=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，利用平方差公式化简可知$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）通过二项式展开式放缩可知当n≥2时${3}^{{2}^{n-1}}$-1≥2^2n-1，从而$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}}$≤$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，利用等比数列的求和公式计算、放缩即得结论．

解答 （1）①解：依题意，b₁=$\frac{{a}_{1}+a}{{a}_{1}-a}$=$\frac{2a+a}{2a-a}$=3，
∵b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+a}{{a}_{n+1}-a}$
=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}）+a}{\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{{a}^{2}}{{a}_{n}}）-a}$
=$（\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}）^{2}$
=${{b}_{n}}^{2}$，
∴log₃b_n+1=2log₃b_n，
又∵log₃b₁=log₃3=1，
∴数列{log₃b_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴log₃b_n=2^n-1，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$；
②证明：由①可知b_n=$\frac{{a}_{n}+a}{{a}_{n}-a}$=${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=a+$\frac{2a}{{b}_{n}-1}$=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，
∴a_n-a=$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，a_n+1-a=$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}-a}{{a}_{n+1}-a}$=$\frac{{3}^{{2}^{n}}-1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{{3}^{2•{2}^{n-1}}-1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{（{3}^{{2}^{n-1}}+1）（{3}^{{2}^{n-1}}-1）}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=${3}^{{2}^{n-1}}$+1；
（2）结论：当n≥2时S_n＜（n+$\frac{4}{3}$）a．
理由如下：
由②可知a_n=a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$，
∵当n≥2时，${3}^{{2}^{n-1}}$-1=$（1+2）^{{2}^{n-1}}$-1
≥（1+2^n-1•2+${C}_{{2}^{n-1}}^{2}$•2²）-1
=2ⁿ+$\frac{{2}^{n-1}（{2}^{n-1}-1）}{2}$•2²
=2ⁿ+2^2n-1-2ⁿ
=2^2n-1，
∴$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}}$≤$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，
∴S_n=a+$\frac{2a}{3-1}$+a+$\frac{2a}{{3}^{2}-1}$+…+a+$\frac{2a}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$
=na+2a（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$）
≤na+2a（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）
=na+2a•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=na+$\frac{4}{3}$a（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）
＜na+$\frac{4}{3}$a
=（n+$\frac{4}{3}$）a，
即当n≥2时S_n＜（n+$\frac{4}{3}$）a．

点评 本题主要考查数列的递推关系式的应用以及利用放缩法比较大小，注意解题方法的积累，属于难题．