Question

3．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）在x=$\sqrt{3}$处的切线斜率为$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点A、B在抛物线C上且位于x轴的两侧，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6（其中O为坐标原点），求△ABO面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出切点，求得切线的方程，代入抛物线的方程，由相切的条件：判别式为0，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；
（2）先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6消元，最后可得定点坐标，再由△ABO面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y₁-y₂|，化简整理，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）设切点为（$\sqrt{3}$，n），且n²=2$\sqrt{3}$p，
由题意可得切线方程为y-n=$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$），
联立抛物线的方程y²=2px，消去x，可得
y²-4py+4pn-2$\sqrt{3}$p=0，
由相切的条件可得16p²-4（4pn-2$\sqrt{3}$p）=0，
解方程可得p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有抛物线的方程为y²=$\sqrt{3}$x；
（2）设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=$\sqrt{3}$x，
可得y²-$\sqrt{3}$ty-$\sqrt{3}$m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-$\sqrt{3}$m，y₁+y₂=-$\sqrt{3}$t，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，
从而$\frac{1}{3}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-6，故m=2$\sqrt{3}$．
故直线AB所过的定点坐标是（2$\sqrt{3}$，0），
即有△ABO面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3{t}^{2}+24}$≥6$\sqrt{2}$，
当t=0时，即直线AB垂直于x轴，
△AOB的面积取得最小值，且为6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件，考查三角形的面积的最值，注意求出直线恒过定点，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．