Question

16．已知a，b为实数，焦点在y轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{a+9}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，b²-2bi=14+5b+b²i，如果数列{c_n}的首项为$\frac{a}{3}$，公比为-b，且存在两项c_m，c_n，使得$\sqrt{{c}_{m}{c}_{n}}$=2c₁，且$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为4．

Answer 1

分析 焦点在y轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{a+9}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{\sqrt{a+9-9}}{\sqrt{a+9}}$=$\frac{1}{2}$，解得a．由b²-2bi=14+5b+b²i，利用复数相等可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=14+5b}\\{-2b={b}^{2}}\end{array}\right.$，解得b．由数列{c_n}的首项为$\frac{a}{3}$，公比为-b，可得c_n=2^n-1．且存在两项c_m，c_n，使得$\sqrt{{c}_{m}{c}_{n}}$=2c₁，利用通项公式可得：m+n=4．利用“乘1法”可得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{4}$（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{9}{n}）$=$\frac{1}{4}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵焦点在y轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{a+9}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，∴$\frac{\sqrt{a+9-9}}{\sqrt{a+9}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=3．
由b²-2bi=14+5b+b²i，可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=14+5b}\\{-2b={b}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=-2．
∵数列{c_n}的首项为$\frac{a}{3}$，公比为-b，∴c_n=$\frac{3}{3}$×2^n-1=2^n-1．
且存在两项c_m，c_n，使得$\sqrt{{c}_{m}{c}_{n}}$=2c₁，∴$\sqrt{{2}^{m-1}•{2}^{n-1}}$=2，化为2^m+n-2=2²，可得m+n=4．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{4}$（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{9}{n}）$=$\frac{1}{4}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}）$$≥\frac{1}{4}$$（10+2\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{9m}{n}}）$=4，当且仅当n=3m=3时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了综合考查了椭圆的标准方程及其性质、复数相等、等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．