Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，N是棱PB的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
（1）求证：平面OMN∥平面PAD；
（2）若DM与平面PAC所成角的正切值为2，求PA长．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，N是棱PB的中点，易得OM∥PA，MN∥BC∥AD，结合面面垂直的判定定理，即可得到平面OMN∥平面PAD；
（2）由PA⊥平面ABCD，OM∥PA，可得OM⊥OD，又由OD⊥AC结合线面垂直的判定定理，可得OD⊥面PAC，则∠DMO即为DM与平面PAC所成的角，根据DM与平面PAC所成角的正切值为2，解三角形DMO即可得到OM的长，进而求出PA的长．

解答：证明：（1）OM∥PA，MN∥BC∥AD，
又∵OM∩MN=M，PA∩AD=A，∴面OMN∥面PAD（7分）
解：（2）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OD，又∵OM∥PA∴OM⊥OD
又OD⊥AC，∴OD⊥面PAC∴∠DMO即为DM与平面PAC所成的角．（11分）
∴

DO

OM

=2，OM=

1

2

DO=

3

2

， ∴PA=2OM=

3

(14分)

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，（1）的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定定理，（2）的关键是构造出∠DMO即为DM与平面PAC所成的角，将空间两点之间的距离问题转化为解三角形问题．