Question

在△ABC中，a比b大2，b比c大2，且最大角的正弦值为

3

2

，则三角形△ABC的面积是

15 3

4

．

Answer 1

分析：由题意根据大边对大角可得A为最大角，进而得到sinA的值为

3

2

，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，可得cosA的值，根据余弦定理求出方程的解即可得到c的值，从而确定出a与b的值，然后再由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：由题意可得a-b=2，且b-c=2，得到a＞b＞c，可知A＞B＞C，即A为最大角，
所以sinA=

3

2

，所以A=60°或120°．
又A为最大角，所以A=120°，即cosA=-

1

2

．
由a-b=2，b-c=2变形得：a=c+4，b=c+2，根据余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：
（c+4）²=（c+2）²+c²+c（c+2），化简得：（c-3）（c+2）=0，
解得：c=3或c=-2（舍去）．
所以a=7，b=5，又sinA=

3

2

，则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

15 3

4

，
故答案为

15 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，根据三角形的边角关系得出A为最大角是本题的突破点，熟练掌握定理及公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，同时要理解A不能为60°．