Question

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，△ABC面积为$\sqrt{3}$，则$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$的最小值为5．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求bc=4，利用余弦定理，基本不等式可求a≥2，b+c=≥4，（当且仅当b=c时等号成立），化简所求即可计算得解．

解答 解：∵A=60°，△ABC面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴bc=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=b²+c²-4≥2bc-4=4，可得：a≥2，（当且仅当b=c时等号成立），
∴b+c=$\sqrt{（b+c）^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+8}$≥$\sqrt{2bc+8}$=4，（当且仅当b=c时等号成立），

∴$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$=$\frac{{a}^{2}+16}{b+c}$≤$\frac{{a}^{2}+16}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+4≤5，（当且仅当b=c时等号成立），
可得$\frac{{4{b^2}+4{c^2}-3{a^2}}}{b+c}$的最小值为5．
故答案为：5．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．