Question

6．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-mx（m＞0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：曲线y=f（x）不存在经过原点的切线．

Answer 1

分析 （1）通过对函数f（x）求导，并令导数为零，分两种情况解方程即得结论；
（2）通过设通过原点的切线为y=kx，切点横坐标为x₀，通过求导可将k=f′（x₀）、切点纵坐标y₀代入切线方程，通过对g（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx+1求导即得结论．

解答 （1）解：依题意，函数f（x）的定义域为：（0，+∞），
且f′（x）=x+$\frac{1}{x}$-m，
令f′（x）=0，即x+$\frac{1}{x}$-m=0，即x²-mx+1=0，则△=m²-4，
当△＜0即0＜m＜2时，方程f′（x）=0无根；
当△=0即m=2时，方程f′（x）=0有唯一根x=1；
当△＞0即m＞2时，方程f′（x）=0有两根x=$\frac{m±\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$；
故当0＜x＜$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$或x＞$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$时，函数f（x）单调递增，
当$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$＜x＜$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$时，函数f（x）单调递减；
综上所述，当0＜m≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞2时，函数f（x）的递增区间为：（0，$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）、（$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，+∞），
递减区间为：（$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$，$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-4}}{2}$）；
（2）证明：设通过原点的切线为y=kx （极值点的切线平行x轴，且极值小于0，均不过原点，故k≠0），
切点横坐标为x₀，则由导数的几何意义可知
k=f′（x₀）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-m{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$，切点纵坐标y₀=y?=$\frac{1}{2}$x₀²+lnx₀-mx₀，
代入切线方程：$\frac{1}{2}$x₀²+lnx₀-mx₀=x₀²-mx₀+1，
即$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀+1=0                           （*）
令g（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀+1，
则g′（x）=x-$\frac{1}{x}$，故驻点x=1为极小值点，
∴g（x₀）≥g（1）=1.5＞0，即方程（*）无解，
∴曲线y=f（x）上没有经过原点的切线．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．