分析 (1)根据对数的含义得出x>3a,利用定义域得出a+3>3a,得出a的范围,利用复合函数的单调性判断即可;
(2)根据函数的单调性与不等式的恒成立得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1<a<\frac{3}{2}}\\{f(a+4)≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{f(a+3)≤1}\end{array}\right.$②求解即可得出a的范围.
解答 解:(1)∵设a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)
∴x>2a,且x>3a,
即x>3a,
∵定义域为[a+3,a+4].
∴a+3>3a,
a<$\frac{3}{2}$,
当1<a$<\frac{3}{2}$时,函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)单调递增,
当0<a<1时,函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)单调递减
(1)∵f(x)≤1恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{1<a<\frac{3}{2}}\\{f(a+4)≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{f(a+3)≤1}\end{array}\right.$②
即$\left\{\begin{array}{l}{1<a<\frac{3}{2}}\\{(4-a)(4-2a)≤a}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{(3-a)(3-2a)≥a}\end{array}\right.$②
$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$<a<\frac{13+\sqrt{41}}{4}$,
∵$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$>\frac{3}{2}$
∴①无解;
∵(3-a)(3-2a)≥a即a$≥\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或a$≤\frac{5-\sqrt{7}}{2}$
∴②的解集为:0<a<1
综上:实数a的取值范围0<a<1
点评 本题考查了复合函数的单调性,不等式的恒成立问题,关键是利用单调性得出最值,转化为不等式组.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}(\overrightarrow a+\overrightarrow b)$ | B. | $\frac{1}{2}(\overrightarrow a-\overrightarrow b)$ | C. | $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ | D. | $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $y=±\frac{1}{2}x$ | B. | y=±2x | C. | $y=±\frac{1}{4}x$ | D. | $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | 1+$\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{3}-1$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | -$\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{2}{3}$ |
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