Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为CC₁、B₁C₁、DD₁的中点，O为BF与B₁E的交点，
（1）证明：BF⊥面A₁B₁EG
（2）求直线A₁B与平面A₁B₁EG所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先在正方形BCC₁B₁中根据条件得到△BB₁F≌△B₁C₁E，进而推得 BF⊥B₁E；再结合DC⊥平面BCC₁B₁，GE∥DC得到BF⊥GE即可证明结论；
（2）由（1）知，BO⊥平面A₁B₁EG；得到∠BA₁O即为直线A₁B与平面A₁B₁EG所成角；然后通过求边长即可求出结论．

解答：（1）证明：因为 BB₁=B₁C₁，B₁F=C₁E，BF=B₁E
所以△BB₁F≌△B₁C₁E
从而∠C₁EB₁=∠BFB₁
在Rt△B₁C₁E中∠C₁EB₁+∠C₁B₁E=90°
故∠BFB₁+∠C₁B₁E=90°从而∠FOB₁=90°
即BF⊥B₁E…（2分）
又因为DC⊥平面BCC₁B₁，GE∥DC
所以GE⊥平面BCC₁B₁…（4分）
又因为BF?平面BCC₁B₁
故BF⊥GE
又因为B₁E∩GE=E
所以BF⊥平面A₁B₁EG…（6分）
（2）解：如右图，连接A₁O         
由（1）知，BO⊥平面A₁B₁EG
故∠BA₁O即为直线A₁B与平面A₁B₁EG所成角…（8分）
设正方体的棱长为1，则A1B=

2

，BF=

1+( 1 2 )2

=

5

2

在Rt△BB₁F中，有

BB1

BO

=

BF

BB1

故 BO=

BB12

BF

=

1

5 2

=

2

5

…（10分）
所以sin∠BA1O=

BO

A1B

=

2 5

2

=

10

5

…（12分）

点评：本题主要考查线面垂直的判定以及直线和平面所成的角的求法．在证明线面垂直时，一般时先证明线线垂直，即证直线和平面内的两条相交直线垂直，从而得到线面垂直．