Question

【题目】如图，已知椭圆C： ，点A,B分别是左、右顶点，过右焦点F的直线MN（异于x轴）交于椭圆C于M、N两点.

（1）若椭圆C过点，且右准线方程为，求椭圆C的方程；

（2）若直线BN的斜率是直线AM斜率的2倍，求椭圆C的离心率.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2) .

【解析】试题分析:（1）根据曲线上的点和右准线方程写出椭圆方程;（2）设， ，则， ， ；因为点在椭圆上，所以，所以，联立方程消元,根据韦达定理可得，又,进而求得离心率.

试题解析:（1）因为椭圆过点，所以，

又已知右准线方程为，所以， ，

可解得， ；或， ；

所以椭圆的方程为或．

（2）设， ，则， ， ；

因为点在椭圆上，所以，

所以，

设直线： ，与椭圆： 联立方程组消去得

，

，

将， 代入上式化简得

，又；所以，

得，即，解得或，

又，所以，即椭圆的离心率为．

点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系的问题,其中过焦点的最短弦长为通径. 直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合.若，设. 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切. 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离.