Question

3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=4EF，则$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{BC}$都用$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，然后代入数量积公式，计算可得答案．

解答 解：如图所示：∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=4EF，∴EF=$\frac{1}{4}$DE=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{DE}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{4}$•$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$
=（$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{9}{8}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{8}$•${\overrightarrow{BC}}^{2}$-$\frac{9}{8}$•$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{8}$-$\frac{9}{8}$•1•1•cos60°=$\frac{1}{16}$，
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．