Question

6．已知0＜α＜$\frac{π}{2}＜β＜π，sin\frac{α}{2}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cos（β-α）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
（1）求sinα的值；
（2）求角β的值．

Answer 1

分析 （′1）由已知先求出cos$\frac{α}{2}$，再根据二倍角公式sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$，即可求出sinα的值，
（2）由（1）题意求出cosα，和sin（β-α）的值，再根据cosβ=cos（β-α+α），计算即可得到cosβ的值，根据角的范围，求出角的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴0＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
（2）由（1）得cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∵cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin（β-α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了三角形函数的化简和求值，关键的灵活利用公式，简化计算，属于基础题．