Question

已知n是正整数，数列{a_rt }的前n项和为S_na₁=1，数列{

1

an

}的前n项和为T_n数列{ T_n }的前n项和为P_n，S_n，是na_n，a_n的等差中项•
（I ）求

lim

n→∞

Sn

n2

（II）比较（n+1）T_n+1-nT_n与1+T_n大小；
（III）是否存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n？若存在，求出所有数列{b_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据S_n，是na_n，a_n的等差中项，得出na_n+a_n=2S_n，（n+1）a_n=2S_n，又2S_n-2S_n-1=2a_n∴a_n=

n

n-1

a_n-1，求得a_n=n．得出

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n(n+1) 2

n2

=

1

2

；
（II）由于数列{

1

an

}的前n项和为T_n∴Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，（n+1）T_n+1-nT_n=（n+1）（T_n+

1

n+1

）-nT_n=1+T_n，从而得出（n+1）T_n+1-nT_n=1+T_n
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在数列{b_n}，再利用条件，求出b_n，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）∵S_n，是na_n，a_n的等差中项
∴na_n+a_n=2S_n，
∴（n+1）a_n=2S_n，
∵2S_n-2S_n-1=2a_n
∴（n+1）a_n-na_n-1=2a_n
∴a_n=

n

n-1

a_n-1
∴a_n=n．
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n(n+1) 2

n2

=

1

2

；
（II）∵数列{

1

an

}的前n项和为T_n
∴Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴（n+1）T_n+1-nT_n=（n+1）（T_n+

1

n+1

）-nT_n=1+T_n
∴（n+1）T_n+1-nT_n=1+T_n
（III）假设存在数列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n，
当n=2时，有：P₂=（b₂+1）T₂-b₂，
即：1+1+

1

2

═（b₂+1）（1+

1

2

）-b₂，
∴b₂=4，
当n=3时，有：P₃=（b₃+1）T₃-b₃，
即：1+1+

1

2

+1+

1

2

+

1

3

=（b₃+1）（1+

1

2

+

1

3

）-b₃，
∴b₃=3，
…
依此类推，存在数列{b_n}，b_n=5-n．
使得Pn=（b_n+1）T_n-b_n．

点评：本题考查数列的应用，数列的极限．注意（Ⅲ）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．