Question

2．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{e}-lnx$．
（I）若f（x）在点（1，f（x））的切线l垂直于y轴，求切线l的方程；
（II）求f（x）的最小值；
（III）若关于x的不等式${e^{x-1}}+1-f（x）＞\frac{{k（{x-1}）}}{x}$在（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域（0，+∞），求出函数的$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
（Ⅱ）判断当x＞1时，当0＜x＜1时，导函数的符号，判断函数的最小值位置，然后求解即可．
（Ⅲ）不等式恒成立转化为：$1+lnx＞\frac{k（x-1）}{x}$，即$h（x）=\frac{x+xlnx}{x-1}＞k$恒成立，即h（x）的最小值大于k，求出函数的导数，通过记g（x）=x-2-lnx，判断函数的最值，当x＞a时，判断h'（x）符号，求解函数的最小值，可得正整数k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域（0，+∞）），----------------------------------（1分）
由$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，$f'（1）={e^{1-1}}-\frac{1}{1}\;\;=1-1=0$，-------------（2分）
所以x=1处的切线垂直于y轴，且f（1）=1，--------------------（3分）
即切线l的方程为y=1．-----------------------（4分）
（Ⅱ）由$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，当x＞1时f'（x）＞0，-------------------------------（5分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，------------------------------------------------（6分）
故f（x）在x=1时，f（x）取最小值，---------------------------------（7分）
最小值f（1）=1．---------------------------------（8分）
（Ⅲ）由${e^{x-1}}+1-f（x）＞\frac{k（x-1）}{x}$，即$1+lnx＞\frac{k（x-1）}{x}$，
即$h（x）=\frac{x+xlnx}{x-1}＞k$恒成立．----------------------------（9分）
即h（x）的最小值大于k．---------------------------（10分）
$h'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}＞k$，
记g（x）=x-2-lnx，
则当x∈（1，+∞）时$g'（x）=\frac{x-1}{x}＞0$，
所以，g（x）在（1，+∞）上单调递增，-----------------------（11分）
又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0
∴g（x）=0存在唯一实根a，
且满足a∈（3，4），g（a）=a-2-lna=0，a=2+lna，---------------------（12分）
当x＞a时，g（x）＞0，h'（x）＞0，当1＜x＜a时，g（x）＜0，h'（x）＜0，------（13分）
所以，$h{（x）_{min}}=h（a）=\frac{a+alna}{a-1}=\frac{a+a（a-2）}{a-1}=a∈（3，4）$，
故正整数k的最大值是3．------------------------------------（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，二次求导，构造法以及转化思想的应用，考查分类讨论思想的应用，难度比较大．