【题目】设椭圆的左、右顶点分别为,,且左、右焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,点在椭圆上,过点的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点.直线与椭圆的另一交点为,直线与直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试求直线的方程;
(3)如果,试求的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组,求解方程组可得椭圆方程;
(2)由题意首先求得点D的坐标,进一步求得点G的坐标,由直线垂直的充分必要条件可得直线的斜率,据此即可求得直线方程;
(3)由题意,联立方程求得点H,点P的坐标,然后利用向量的坐标运算得到关于直线斜率k的表达式,最后由函数的单调性可得的取值范围.
(1)由定义,解得:.
椭圆方程为. ①
(2)设直线, ②
则与直线的交点.
又,所以设直线,
由解得,
则直线得斜率为,③
因为,故,又,解得,
则直线得方程为.
(3)由(2)中③知,设直线
由解得,
联立①②,解得,
因为,所以,则,
,
因为在为减函数,所以.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面垂直于和,是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[ 0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
(1)写出频率分布直方图(甲)中的的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)
(2)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;
(3)设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求的数学期望.
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【题目】银川市展览馆22天中每天进馆参观的人数如下:
180 158 170 185 189 180 184 185 140 179 192
185 190 165 182 170 190 183 175 180 185 148
计算参观人数的中位数、众数、平均数、标准差(保留整数部分).
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【题目】已知函数是定义在上的奇函数,在上是增函数,且,给出下列结论,
①若且,则;
②若且,则;
③若方程在内恰有四个不同的实根, , , ,则或8;
④函数在内至少有5个零点,至多有13个零点.
其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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