Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．设向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
（I）若

m

∥

n

，求角C；
（Ⅱ）若

m

⊥

n

，B=15°，a=

6

+

2

，求边c的大小．

Answer 1

分析：（I）根据两个向量平行写出关于三角形的内角的三角函数关系，逆用两角和的余弦公式，得到两角和的余弦值，注意角的范围限制，根据三角形两个角的和的值得到要求的角的大小．
（Ⅱ）根据两个向量垂直写出关于三角形内角的关系式，用二倍角公式和角B的值，得到角A的结果，从而得到角C的大小，根据正弦定理求出边c的结果．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(cosA，sinB)
∴sinAsinB-cosAcosB=0
cos（A+B）=0，
∵0＜A+B＜180°，
∴A+B=90°，
∴C=180°-（A+B）=90°．
（Ⅱ）∵

m

⊥

n

∴sinAcosA+sinBcosB=0
即sin2A+sin2B=0，
∵B=15°，
∴sin2A+sin30°=0，
sin2A=-

1

2

，
∵0＜2A＜360°-2B=330°，
∴2A=210°，A=105°．
C=180°-15°-105°=60°．
根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

?

6 + 2

sin105°

=

c

sin60°

?c=

( 6 + 2 )sin60°

sin105°

．
∵sin105°=sin(45°+60°)=

6 + 2

4

，
∴c=

( 6 + 2 )× 3 2

( 6 + 2 ) 4

=2

3

．

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行和垂直的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现，也可以作为解答题的一部分出现．