Question

已知函数f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）当x∈[

π

6

，

5

6

π]时，求f（x）的取值范围；
（2）将函数y=f（x）的图象按向量

a

=(

π

6

，0)平移后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）为偶函数，由f（-x）=f（x），利用两角和的正弦可得cos（φ-

π

6

）=0，从而结合题意可求得φ，由其周期可求得ω，从而得到解析式，利用正弦函数的性质可求得x∈[

π

6

，

5π

6

]时，f（x）的取值范围；
（2）由三角函数的图象变换可求得函数g（x）的解析式，利用余弦函数的性质可求得g（x）的单调减区间．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立
∴sin（-ωx+φ-

π

6

）=sin（ωx+φ-

π

6

），
即-sinωxcos（φ-

π

6

）+cosωxsin（φ-

π

6

）=sinωxcos（φ-

π

6

）+cosωxsin（φ-

π

6

），
∴sinωxcos（φ-

π

6

）=0，
∵ω＞0且x∈R
∴cos（φ-

π

6

）=0，
又∵0＜φ＜π，
∴φ-

π

6

=

π

2

，
∴f（x）=2sin（ωx+φ+

π

2

）=2cosωx，
依题意

2π

ω

=2•

π

2

=π，
∴ω=2．
∴f（x）=2cos2x…（4分）
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴2x∈[

π

3

，

5π

3

]，
∴cos2x∈[-1，

1

2

]，
∴f（x）∈[-2，1]…（7分）
（2）依题意g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2cos[2（

x

4

-

π

6

）]=2cos（

x

2

-

π

3

），
由2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）得：4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）
∴g（x）的单调减区间为[4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

]（k∈Z）…（13分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查两角和的正弦，求φ是关键，也是难点，属于难题．