Question

在三棱台ABC—A₁B₁C₁中，A₁B₁是A₁C与B₁C₁的公垂线段，已知AB=3 cm，A₁A=AC=5 cm，二面角A₁—AB—C为60°，

（1）求三棱锥A₁—ABC的体积；

（2）若二面角A₁—AC—B的大小为θ，求tanθ.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵A1B1是A1C与B1C1的公垂线段，AB∥A1B1，BC∥B1C1，∴AB⊥A1C，AB⊥BC. ∴AB⊥面A1BC. ∴AB⊥A1B.则∠A1BC为二面角A1—AB—C的平面角，∴∠A1BC=60°. 在Rt△ABC中，∵AB=3 cm，AC=5 cm， ∴BC=4 cm.同样可得A1B=4 cm. ∴△A1BC是边长为4 cm的正三角形. （2）由（1）知AB⊥面A1BC，∴面A1BC⊥面ABC. 过A1作A1D⊥BC于点D，则A1D⊥面ABC，且D为BC的中点. 过D作DE⊥AC于点E，连结A1E，则A1E⊥AC. ∴∠A1ED=θ.由Rt△ABC∽Rt△DEC，得DE=cm. 在Rt△A1DE中，, ∴tanθ=.