Question

（2x+4）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰，则a+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀被3除的余数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定

Answer 1

【答案】分析：分别给二项式中的x赋值1，-1，两式相加求出a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀，将2²⁰⁰⁹写成（3-1）²⁰⁰⁹，利用二项式定理求出其展开式，由展开式的形式判断出被3除的余数．
解答：解：令x=1得6²⁰¹⁰=a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀
令x=-1得2²⁰¹⁰=a-a₁+a₂-a₃…+a₂₀₁₀
两式相加得=2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹
∵2²⁰⁰⁹=（3-1）²⁰⁰⁹=C₂₀₀₉3²⁰⁰⁹+C₂₀₀₉¹3²⁰⁰⁸（-1）+…+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸3¹（-1）²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²⁰⁰⁹（-1）²⁰⁰⁹
∴2²⁰⁰⁹被3除的余数的是2
∴2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹被3除的余数是2
即a+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀被3除的余数是2
故选C
点评：本题考查通过赋值法求展开式的系数和、利用二项式定理的展开式求余数问题．