【题目】已知函数.
(Ⅰ)设,曲线在点处的切线在轴上的截距为,求的最小值;
(Ⅱ)若只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)-8;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)利用导数几何意义先求出切线的方程,再根据切线方程求出,然后利用二次函数的单调性求最值;(Ⅱ)先对函数求导可得,再通过分类讨论研究函数的单调性,然后根据函数的极值的情况函数零点的关系得出的取值范围即可。
(Ⅰ)由已知可得,,,
所以曲线在点处的切线方程为.
令,得.
因为,所以在上单调递增,
所以当时,.
(Ⅱ)①若,因为或,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以的极小值为,极大值为.
因为,若只有一个零点,
则或.
由,得或.又,所以.
由,得.
因为,所以,得,
所以或.
②若,,则在上是增函数.
因为,所以只有一个零点-1.
③若,因为或,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以的极小值为,极大值为.
因为,,若只有一个零点,
则,即.
因为,所以,得.
综上,实数的取值范围为.
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【题目】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解通话时长,采用随机抽样的方法,得到该校100位班主任每人的月平均通话时长(单位:分钟)的数据,其频率分布直方图如图所示,将频率视为概率.
(1)求图中的值;
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数;
(3)在,这两组中采用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,是等边三角形,四边形ABCD是矩形,,F为棱PA上一点,且,M为AD的中点,四棱锥的体积为.
(1)若,N是PB的中点,求证:平面平面PCD;
(2)在(Ⅰ)的条件,求三棱锥的体积.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)+1=4cosBcosC.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为2,求b+c.
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【题目】若存在实数使得则称是区间的一内点.
(1)求证:的充要条件是存在使得是区间的一内点;
(2)若实数满足:求证:存在,使得是区间的一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间,是区间的一内点,是区间的一内点,且不等式和不等式对于任意都恒成立,求证:
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【题目】已知数列,如果存在常数p,使得对任意正整数n,总有成立,那么我们称数列为“p-摆动数列”.
(Ⅰ)设,,,判断、是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(Ⅱ)已知“p-摆动数列”满足,,求常数p的值;
(Ⅲ)设,且数列的前n项和为,求证:数列是“p-摆动数列”,并求出常数p的取值范围.
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