Question

（本小题满分15分） 已知抛物线C的顶点在原点， 焦点为F(0，1).

（1） 求抛物线C的方程；

（2）在抛物线C上是否存在点P， 使得过点P

的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF， 且

PQ与C在点P处的切线垂直.若存在，求出

点P的坐标； 若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  解: 设抛物线C的方程是x² = ay, 高则,        即a = 4 .

故所求抛物线C的方程为x² = 4y .             …………………(5分)

(2) 解:设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) , 则抛物线C在点P处的切线方程是： ,

直线PQ的方程是：  .

将上式代入抛物线C的方程, 得：,

故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1＝－2y₁ －－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)＝(y₁＋1)²－＝＝0,

故 y₁＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .  经检验, 符合题意. 

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)

 

【解析】略