【题目】已知函数f(x)=x(1-)是R上的偶函数.
(1)对任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求实数m的取值范围.
(2)令g(x)=1-,设函数F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零点,求实数n的取值范围.
【答案】(1)实数m的取值范围为[3,+∞).(2)实数n的取值范围是(2,+∞).
【解析】试题分析:(1)先根据偶函数得a=2,再分离变量得m≥2x-1最大值,即得实数m的取值范围(2)根据函数单调性化简方程F(x)=0得n=4x-2x+1+3,再根据二次函数值域求实数n的取值范围.
试题解析:(1)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x)·(1-)=x·(1-).
∴x·(2-a)=0,由于x不恒为0,∴a=2.3分
故f(x)=x(1-)=x·.
又x∈[1,2],∴2x-1>0,2x+1>0,
∴不等式m·≥2x+1恒成立,等价于m≥2x-1恒成立.
又x∈[1,2],∴2x-1∈[1,3],∴当m≥3时,不等式m≥2x-1恒成立,
∴实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)函数F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零点,等价于方程g(4x-n)-g(2x+1-3)=0有实数根.由(1)知f(x)=x(1-),
∴g(x)=1-= (x≠0).
由2x+1是增函数,∴g(x)是减函数.9分
∴4x-n=2x+1-3,
∴n=4x-2x+1+3.
∵4x-2x+1+3
=(2x)2-2·2x+3
=(2x-1)2+2,
又x≠0,∴(2x-1)2+2>2.
故实数n的取值范围是(2,+∞).
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【题目】设函数f(x)=ex-ax-1.
(1)当a>0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤0;
(2)求证:对任意的正整数n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<(n+1)n+1.
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【题目】对于给定的正整数,如果各项均为正数的数列满足:对任意正整数,
总成立,那么称是“数列”.
(1)若是各项均为正数的等比数列,判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若既是“数列”,又是“数列”,求证: 是等比数列.
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【题目】已知函数f(x)=在点(1,1)处的切线方程为x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x,不等式f(x)-<0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,底面ABC为正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,设F为EB的中点.
(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求直线AD与平面AEB所成角的正弦值.
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【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试发现:女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙两人独立解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式
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【题目】已知函数f(x)=xlnx和g(x)=m(x2-1)(m∈R).
(1)m=1时,求方程f(x)=g(x)的实根;
(2)若对任意的x∈(1,+∞),函数y=g(x)的图象总在函数y=f(x)图象的上方,求m的取值范围;
(3)求证: ++…+>ln(2n+1) (n∈N*).
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