Question

（08年福建卷理）（本小题满分12分）

　　　如图，在四棱锥中，则面PAD⊥底面，侧棱，底面为直角梯形，其中

，，O为中点。

（Ⅰ）求证：PO⊥平面；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：

解法一：

　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，，

有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC．

由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．

因为，

在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，

所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是．

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．

　　　设，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由得，解得，

所以存在点Q满足题意，此时．

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

 

 (Ⅱ)以为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系,依题意，易得，

    所以

    ．

所以异面直线与所成的角是．

 (Ⅲ)假设存在点，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面的法向量为.

则所以    即，

取,得平面PCD的一个法向量为.

设由，得

解或(舍去)，此时，

所以存在点Q满足题意，此时.

【高考考点】本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可

【备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.