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(08年福建卷理)(本小题满分12分)

   如图,在四棱锥中,则面PAD⊥底面,侧棱,底面为直角梯形,其中

O中点。

(Ⅰ)求证:PO⊥平面

(Ⅱ)求异面直线PBCD所成角的大小;

(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

解析:

解法一:

  (Ⅰ)证明:在△PADPA=PDOAD中点,所以POAD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD平面PAD

所以PO⊥平面ABCD

(Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BCAD

ODBCOD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OBDC

由(Ⅰ)知,POOB,∠PBO为锐角,

所以∠PBO是异面直线PBCD所成的角.

因为

在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,

所以OB

在Rt△POA中,因为APAO=1,所以OP=1,

在Rt△PBO中,tan∠PBO

所以异面直线PBCD所成的角是

(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为

   设,则,由(Ⅱ)得CD=OB=

   在Rt△POC中,

所以PC=CD=DP,

,解得

所以存在点Q满足题意,此时

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

 

 (Ⅱ)以为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,依题意,易得

    所以

   

所以异面直线所成的角是

 (Ⅲ)假设存在点,使得它到平面PCD的距离为

由(Ⅱ)知

设平面的法向量为.

所以    即

,得平面PCD的一个法向量为.

,得

(舍去),此时

所以存在点Q满足题意,此时.

【高考考点】本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可

【备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.

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