Question

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，求实数a的值；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=1-
∴f′（1）=1-a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，
∴1-a=3
∴a=-2；
（2）f′（x）=1-=（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＜0与f（x）≥0恒成立矛盾
∴a≤0不合题意
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna=0
∴a=1．
分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，即可求实数a的值；
（2）求导函数，分类讨论：当a≤0时，不合题意；当a＞0时，确定函数的单调性，从而可确定函数的最小值，利用f（x）的值域为[0，+∞），即可求a的值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．