Question

某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表：

按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人，经检测她们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

Answer 1

解：（1）设该校总人数为n人，
由题意得，
∴n=2000，
∴z=2000-100-300-150-450-600=400．

（2）设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生抽取一个容量为5的样本，
所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，
分别记作S₁，S₂，B₁，B₂，B₃，
则从中任取2人的所有基本事件为（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₂，B₁），（S₂，B₂），
（S₂，B₃），（S₁，S₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₁，B₃），
（S₂，B₁），（S₂，B₂），（S₂，B₃），（S₁，S₂），
∴从中任取2人，至少有1名女生的概率为

（3）样本的平均数为（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，
∴该数与样本平均数之差的约对值不超过0.5的概率为
分析：（1）设出全校的人数，根据年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人，列出比例式，解出全校的人数，用全校的人数减去已知量，得到z的值．
（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件可以列举出所有，共有10种结果，满足条件的事件是至少有1名女生的基本事件有7个，根据概率公式得到结果．
（3）首先做出样本平均数，把数据进行比较与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，得到概率．
点评：本题考查古典概型，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题，在解题过程中列举起到重要作用，这是一个典型的题目，可以作为高考题目的解答题出现．