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函数f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求实数a,b,并确定函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)写出f(x)的单调减区间,并判断f(x)有无最大值或最小值?如有,写出最大值或最小值.(本小问不需说明理由)
分析:(1)根据奇函数的定义以及f(1)=
1
2
,求出b和a的值,解开得到f(x)的解析式.
(2)任取-1<x1<x2<1,判断f(x1)与f(x2)的大小,根据函数单调性的定义可证明f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)类比(2)中函数的在(-1,1)上的单调性可得f(x)的单调减区间,结合(2)中结论可得函数的最值.
解答:解:(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=f(x),即
ax+b
x2+1
=-
-ax+b
x2+1

∴b=0.  …(2分)
∵f(1)=
1
2

∴a=1.
∴f(x)=
x
x2+1
. …(5分)
(2)任取-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1

=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
.  …(7分)
∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1•x2>0,故 
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
<0,
故有f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-1,1)上是增函数. …(10分)
(3)单调减区间(-∞,-1],[1,+∞),…(12分)
当x=-1时有最小值-
1
2
,当x=1时有最大值
1
2
. …(14分)
点评:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,用待定系数法求函数的解析式,属于中档题.
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ax+2b
1+x2
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)解不等式f(2-t)+f(
t
5
)<0

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ax,(x<0)
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满足对任意的实数x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
成立,则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在区间(-1,1)上的函数f(x)=
ax+b
1+x2
为奇函数,且f(
1
2
)=
2
5

(1)求实数a,b的值;
(2)用定义证明:函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
ax-1x+1
,  其中 a∈R

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科目:高中数学 来源: 题型:

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a-1x
 (a∈R)
,g(x)=lnx.
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(2)若a>0,对任意x>0,不等式f(x)-g(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.

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