Question

函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=

1

2

．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义以及f（1）=

1

2

，求出b和a的值，解开得到f（x）的解析式．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义可证明f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）类比（2）中函数的在（-1，1）上的单调性可得f（x）的单调减区间，结合（2）中结论可得函数的最值．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），即

ax+b

x2+1

=-

-ax+b

x2+1

，
∴b=0．  …（2分）
∵f（1）=

1

2

∴a=1．
∴f（x）=

x

x2+1

． …（5分）
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(x12+1)(x22+1)

．  …（7分）
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，故 

(x1-x2)(1-x1•x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数． …（10分）
（3）单调减区间（-∞，-1]，[1，+∞），…（12分）
当x=-1时有最小值-

1

2

，当x=1时有最大值

1

2

． …（14分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，用待定系数法求函数的解析式，属于中档题．