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已知向量
m
=(
3
sinωx,0)
n
=(cosωx,-sinωx)
(ω>0),在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
,且当x∈[0,
π
3
]
时,f(x)的最大值为
3
2

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.
分析:(Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算可求得f(x)=
3
sin(2ωx-
π
3
)+
3
2
+t,依题意可求得其周期T=π,从而可得ω;再由正弦函数的单调性与最值可求得t,从而可得f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=
3
sin(2x-
π
3
),令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)即可求得f(x)的单调递增区间.
解答:解:(Ⅰ)∵
m
=(
3
sinωx,0),
n
=(cosωx,-sinωx),
∴f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
=(
3
sinωx,0)•(
3
sinωx+cosωx,-sinωx)+t
=
3
sinωx(
3
sinωx+cosωx)+t
=3sin2ωx+
3
sinωx•cosωx+t
=3•
1-cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx+t
=
3
sin(2ωx-
π
3
)+
3
2
+t…(4分)
∵函数f(x)对称中心到对称轴最小距离为
π
4

∴f(x)周期为T=4×
π
4
=π=

∴ω=1…(6分)
∴f(x)=
3
sin(2x-
π
3
)+
3
2
+t
∵0≤x≤
π
3

∴0≤2x≤
3

∴-
π
3
≤2x-
π
3
π
3

∴-
3
2
≤sin(2x-
π
3
)≤
3
2

-
3
2
3
sin(2x-
π
3
)≤
3
2

∴f(x)最大值为
3
2
+
3
2
+t=
3
2

∴t=-
3
2

∴f(x)=
3
sin(2x-
π
3
)…(10分)
(Ⅱ)令2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
…(12分)
2kπ-
π
6
≤2x≤2kπ+
6

kπ-
π
12
≤x≤kπ+
12
(k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z) …(14分)
点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查向量的数量积的坐标运算,突出考查正弦函数的单调性与最值,考查推理与运算的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(-1,cosωx+
3
sinωx)
n
=(f(x),cosωx)
,其中ω>0,且
m
n
,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为
3
2
π

(Ⅰ)求ω的值.
(Ⅱ)设α是第一象限角,且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
,求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx),cosωx),
b
=(cosωx,-cosωx)
,函数f(x)=
a
b
+
1
2
(ω>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4

(1)求ω值;
(2)若cosx≥
1
2
,x∈(0,π)
,且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinωx,0),
n
=(cosωx,-sinωx)(ω>0)
,在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
的图象上,对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
,且当x∈[0,
π
3
]
时f(x)的最小值为
3
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,
π
3
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知向量
m
=(
3
sinωx,0),
n
=(cosωx,-sinωx)(ω>0)
,在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
的图象上,对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
,且当x∈[0,
π
3
]
时f(x)的最小值为
3
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,
π
3
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,求实数m的取值范围.

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