Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断函数F（x）=（x²+1）f （x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f（x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
（3）方程f（x）=

1

ex

-

2

ex

是否存在实数根？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2，我们易得到函数F（x）=（x²+1） f （x）-g（x）的解析式，利用导数法易判断出函数在区间[1，+∞）上导函数的值，进而判断出其单调性．
（2）若要证明函数f （x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

，即证lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

，构造函数，结合函数的单调性易得结论．
（3）由f（x）=

1

ex

-

2

ex

?xlnx=

x

ex

-

2

e

 (x＞0)，我们可以构造函数h（x）=xlnx（x＞0）．利用导数法判断h（x）的单调性，求出其最值后，即可得到结论．

解答：解（1）∵F（x）=（x²+1）lnx-2x+2．
∴F′（x）=2xlnx+

x2+1

x

-2=2xlnx+

(x-1)2

x

．
∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x=1时F′（x）=0
∴F（x）在（1，+∞）上单调递增（4分）
（2）∵0＜a＜b，f（x）在[a，b]上的值域为[lna，lnb]
∴要证值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

，
即证lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

只要证ln

b

a

＞

2( b a -1)

1+( b a )2

∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1，令

b

a

=x
则只要证lnx＞

2(x-1)

1+x2

（x＞1）
即证（x²+1）lnx-（2x-2）＞0（※）
由（1）可知F（x）在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0
所以（※）式成立．
∴f（x）在[a，b]上的值域的长度大于

2a(b-a)

a2+b2

．（9分）
（3）∵f（x）=

1

ex

-

2

ex

?xlnx=

x

ex

-

2

e

 (x＞0)
令h（x）=xlnx（x＞0）．则h′（x）=lnx+1
当x∈（0，

1

e

）时h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（

1

e

，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）_min=h（

1

e

）=-

1

e

．
令空集（x）=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，则∅′(x)=

1-x

ex

，
当x∈（0，1），空集'（x）＞0，空集（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，空集'（x）＜0，空集（x）单调递减．
∴C（x）_max=∅(1)=-

1

e

所以方程f（x）=

1

ex

-

2

ex

没有实根（13分）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断及函数单调性的判断与证明，利用导数法是判断函数单调性及求函数的最值是导数应用的重要方面，要求大家熟练掌握．