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,其中c,c1,c2,…,ck为非零常数,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,an+Sn=fk(n).
(1)若k=0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列.
【答案】分析:(1)由a1 =S1 求出首项 a1 的值,当n≥2时,由an+Sn=2 ①,可得an-1+Sn-1=2 ②,相减可得 2an-an-1=0(n∈N,n≥2).判断,从而证得结论.
(2)若k=0,由(1)知,不符题意.若k=1,求得an=1(n∈N*),此时f1(n)=n+1.若k=2,同理求得an=2an-2a+1(n∈N*),此时
 当k≥3时,若数列{an}能成等差数列,则an+Sn的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}不能成等差数列,综上可得结论.
解答:(1)证明:∵k=0,则fk(n)即f(n)为常数,不妨设f(n)=c(c为常数).
因为an+Sn=fk(n)恒成立,所以a1+S1=c,即c=2a1=2.
而且当n≥2时,由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2,②,把①-②可得 2an-an-1=0(n∈N,n≥2).
若an=0,则an-1=0,…,a1=0,与已知矛盾,所以
故数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解:(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去.
(ii) 若k=1,设f1(n)=bn+c(b,c为常数),则 当n≥2时,由an+Sn=bn+c ③,可得an-1+Sn-1=b(n-1)+c.④
③-④得 2an-an-1=b(n∈N,n≥2).要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an=b-d(常数),
而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an=1(n∈N*),
故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an=1(n∈N*),此时f1(n)=n+1.
(iii) 若k=2,设(a≠0,a,b,c是常数),
当n≥2时,由  ⑤,可得  ⑥,
⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a(n∈N,n≥2).
要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an=2an+b-a-d,且d=2a,
考虑到a1=1,所以an=1+(n-1)•2a=2an-2a+1(n∈N*).
故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an=2an-2a+1(n∈N*),
此时(a为非零常数).
 (iv) 当k≥3时,若数列{an}能成等差数列,则an+Sn的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}不能成等差数列.
综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列.
点评:本题主要考查等比关系的确定,等差数列的通项公式的应用,数列的前n项和与第n项的关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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