Question

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为

-1

．

Answer 1

分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x_n，再利用对数的运算性质求相应的函数值．

解答：解：∵函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，
∴P（1，1），
∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0可得x=

n

n+1

，
即该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=log2013

1

2013

=-1，
故答案为：-1．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．