Question

【题目】某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；

（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由面积相等建立等量关系：先确定直角梯形高，求得直角梯形面积，再表示四边形的面积：分割成一个小直角梯形及一个直角三角形,其中为中点，根据四边形的面积为直角梯形面积一半，可解得，进而求得（2）易得，进而可得，其中，，根据的面积为直角梯形面积一半，可解得，再由余弦定理可得，利用基本不等式求最值

试题解析：（1）因为，，，

所以，……………………………………2分

取中点，

则四边形的面积为，

即，

解得，…………………………………………6分

所以(km)．

故灌溉水管的长度为km．……………………8分

（2）

设，，在中，，

所以在中，，

所以，

所以的面积为，

又，所以，即．……………………12分

在中，由余弦定理，得，

当且仅当时，取“”．

故灌溉水管的最短长度为km．……………………………………16分