Question

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-$\sqrt{x}$（1+x），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 可设x＜0，则有-x＞0，从而由条件得到f（-x）=$-\sqrt{-x}（1-x）$=-f（x），从而得出f（x）=$\sqrt{-x}（1-x）$，并且f（0）=0，从而用分段函数表示f（x）的解析式即可．

解答 解：设x＜0，-x＞0；
∵f（x）是R上的奇函数；
∴$f（-x）=-\sqrt{-x}（1-x）=-f（x）$；
∴$f（x）=\sqrt{-x}（1-x）$，且f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{x}（1+x）}&{x≥0}\\{\sqrt{-x}（1-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，对于奇函数f（x），知道x＞0时的解析式，求其对称区间上的解析式的方法．