Question

（2012•深圳二模）如图，M，N是抛物线C₁：x²=4y上的两动点（M，N异于原点O），且∠OMN的角平分线垂直于y轴，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，B．
（1）求实数λ，μ的值，使得

OB

=λ

OM

+μ

ON

；
（2）若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C₂经过A，M．求椭圆C₂焦距的最大值及此时的方程．

Answer 1

分析：（1）由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，确定B，M，N的坐标代入

OB

=λ

OM

+μ

ON

中，即可求得结论；
（2）设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），将A（2x₁，0），M（x1，

x12

4

）代入，得

4x12

a2

=1

4x12

a2

+

x14

16b2

=1，从而可得a2=4x12，b2=

x14

12

，进而可表示椭圆C₂的焦距，利用基本不等式确定最值，从而可得椭圆C₂的方程．

解答：解：（1）设M（x1，

x12

4

），N（x2，

x22

4

），x₁x₂≠0，x₁≠x₂
由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即

x12 4

x1

+

x22 4 - x12 4

x2-x1

=0
化简得x₂=-2x₁．（3分）
由点M（x1，

x12

4

），N(-2x1，x12)知，直线MN的方程为y-

x12

4

=-

x1

4

(x-x1)．
分别在其中令y=0及x=0得A（2x₁，0），B（0，

x12

2

）．（5分）
将B，M，N的坐标代入

OB

=λ

OM

+μ

ON

中得

λ=2μ λ+4μ=2

，（7分）
所以λ=

2

3

，μ=

1

3

（8分）
（2）设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
将A（2x₁，0），M（x1，

x12

4

）代入，得

4x12

a2

=1，

x12

a2

+

x14

16b2

=1，（9分）
解得a2=4x12，b2=

x14

12

，由a²＞b²得0＜x12＜48．（10分）
椭圆C₂的焦距2c=

3

3

x12(48-x12)

≤8

3

（12分）
当且仅当x12=48-x12，即x12=24＜48时，上式取等号，故(2c)max=8

3

，（13分）
此时椭圆C₂的方程为

x2

96

+

y2

48

=1（14分）

点评：本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．