Question

12．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=2，BC=1，PA=AD=3，E是PD上一点，且CE∥平面PAB，则C到面ABE的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥AD于F，过F作EF⊥AD交PD于E，则EF⊥平面ABCD，由等体积，即可求出结果．

解答 解：过点C作CF⊥AD于F，过F作EF⊥AD交PD于E，
则EF⊥平面ABCD，
∵PA⊥底面ABCD，∴EF∥PA，
∵BA⊥AD，CF⊥AD，∴AB∥FC，
∵PA∩AB=A，EF∩FC=F，PA，AB?平面PAB，EF，FC?平面EFC，
∴平面PAB∥平面EFC，
∵CE?平面EFC，∴CE∥平面PAB，
∴EF=2，
设C到面ABE的距离为h，则
由V_C-ABE=V_E-ABC，可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$
∴h=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查C到面ABE的距离，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．